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プロフィール
- ウェーブレットとは
- 概要
- ウェーブレット理論の応用
- ウェーブレット理論のアウトライン
- 連続ウェーブレット変換
- 離散化したウェーブレット変換
- MRAによる離散ウェーブレット変換
- マザーウェーブレット
- フーリエ変換との比較
- 応用
- 歴史
- 関連サイト
ウェーブレット()、 ウェーブレット解析、 ウェーブレット変換とは、マザーウェーブレットと呼ばれる有限長波形（もしくは速やかに減衰しながら振動する波形）による信号表現である。信号表現は入力信号に合致するような ウェーブレット波形の拡大縮小（スケーリング）・平行移動（シフト）により行われる。より正確には、この信号表現は ウェーブレット系列と呼ばれ、これは2乗可積分関数のヒルベルト空間における完備直交基底関数集合を用いた座標表現である。JPEG2000で使われている ウェーブレット
概要
| ''ウェーブレット''という言葉は、MorletとGrossmanによって1980年代初頭につくられた。 |
| 彼らはフランス語で"小さい波"を意味するという言葉を用いた。 |
| 少し後に英語に翻訳され、"onde"は"wave"となりとなった。 |
| ウェーブレット変換は、大きく離散ウェーブレット変換（DWT）と連続ウェーブレット変換（CWT）に分類される。 |
| これらの違いは、CWTでは可能な全てのスケールとシフトが用いられるのに対して、DWTでは一部分のみが使われる。 |
ウェーブレット理論の応用
| ウェーブレット理論は、いくつかの異なる目的で応用される。 |
| 全てのウェーブレット変換は、時間周波数表現であると考えられるが、調和解析とも関係がある。 |
| 多くの場合に有用である離散ウェーブレット変換は、有限インパルス応答（FIR）フィルタで構成されるフィルタバンクである。 |
| 連続ウェーブレットは、ハイゼンベルクの不確定性原理に支配されている。 |
| 同様に、離散ウェーブレットにおいても不確定性原理は考慮されなければならない。 |
連続ウェーブレット変換
| Inthecontinuouswavelettransform,agivensignaloffiniteenergyisprojectedonacontinuousfamilyoffrequencybands（orsimilarsubspacesofthefunctionspaceL^2（R））,forinstanceoneveryfrequencybandoftheform |
| 連続ウェーブレット変換においては、有限なエネルギーを持った信号は、連続な周波数バンドの群もしくはL^2（R）関数空間の一部）として投影される。 |
| 得られた周波数成分は、適切な積分によって元の信号を再構成することができる。 |
| Thefrequencybandsorsubspacesarescaledversionsofasubspaceatscale''1''.ThissubspaceinturnisinmostsituationsgeneratedbytheshiftsofonegeneratingfunctionpsiinL^2（R）,the''motherwavelet''.Fortheexampleofthescaleonefrequencyband |
| 部分空間の群は、スケール''1''の部分空間を拡大縮小（スケール）して生成されたものである。 |
| この部分空間は、１つの関数すなわちマザーウェーブレットpsiinL^2（R）をシフトすることによって生成される。 |
| psi（t）=2,operatorname{sinc}（2t）-,operatorname{sinc}（t）=frac{sin（2pit）-sin（pit）}{pit}。 |
| これは、正規化されたSinc関数を用いている。 |
| 一般的なマザーウェーブレットの例は以下のとおりである。 |
| Thesubspaceofscale''a''orfrequencyband |
| psi_{a,b}（t）=frac1{sqrta}psileft（frac{t-b}{a}ight）,。 |
| where''a''ispositiveanddefinesthescaleand''b''isanyrealnumberanddefinestheshift.Thepair''（a,b）''definesapointintheupperhalfplaneR_+imesR.。 |
| Theprojectionofafunction''x''ontothesubspaceofscale''a''hasthentheform。 |
| x_a（t）=int_RWT_phi{x}（a,b）cdotpsi_{a,b}（t）,db。 |
| WT_phi{x}（a,b）=langlex,psi_{a,b}angle=int_Rx（t）overline{psi_{a,b}（t）},dt.。 |
| Fortheanalysisofthesignal''x'',onecanassemblethewaveletcoefficientsintoascaleogramofthesignal.-->。 |
| スケール''a''の部分空間は、以下の式で生成される。 |
| （これは''ベビーウェーブレット''と呼ばれることがあるがあまり一般的ではない）。 |
| psi_{a,b}（t）=frac1{sqrta}psileft（frac{t-b}{a}ight）。 |
| ただし、''a''は正の実数でありスケールを決定する。 |
| ''b''は任意の実数でありシフトを決定する。 |
| ''（a,b）''のペアは、R_+imesRの上半面において定義される。 |
| 関数''x''をスケール''a''の部分空間へ投影すると、以下の式で示される。 |
| x_a（t）=int_RWT_phi{x}（a,b）cdotpsi_{a,b}（t）,db。 |
| 但し、WTはウェーブレット係数である。 |
| WT_phi{x}（a,b）=langlex,psi_{a,b}angle=int_Rx（t）overline{psi_{a,b}（t）},dt.。 |
| 信号''x''の解析のためには、ウェーブレット係数をスカログラムにする。 |
離散化したウェーブレット変換
| 全てのウェーブレット係数を使って信号を解析することは実用上不可能である．信号を対応するウェーブレット係数から再構成することは，上半面の離散部分集合さえ取り出せば十分可能だと思うだろう．その一つとして実数パラメータ''a>1''，''b>0''によるアフィン系がある．対応する半面の離散部分集合は，全ての点（a^m,n,a^mb）を含む（m,nin）．対応する''ベビーウェーブレット''は以下で与えられる．。 |
| psi_{m,n}（t）=a^{-m/2}psi（a^{-m}t-nb）.。 |
| x（t）=sum_{min}sum_{nin}langlex,,psi_{m,n}anglecdotpsi_{m,n}（t）。 |
| による有限エネルギーを持つ任意の信号''x''の再構成のための十分条件は，関数群{psi_{m,n}:m,nin}がL^2（R）のタイトフレームを形作ることである．。 |
MRAによる離散ウェーブレット変換
| 各種あるウェーブレット変換の離散化の全ての方法において、上半面上の各有界矩形領域は有限個の係数のみを持つ。 |
| しかし、各係数を求めるためには積分の評価が必要となる。 |
| このような数値的な複雑さを避けるために、''ファザーウェーブレット''と呼ばれる補助関数phiinL^2（R）が利用される。 |
| このとき''a''は整数でなければならない。 |
| 例えば典型的な係数として''a=2''、''b=1''が用いられる。 |
| 最も有名なファザー・マザーウェーブレットの組としてDaubechiesの4タップウェーブレットがある。 |
| Ineachinstanceofthediscretisedwavelettransform,thereareonlyafinitenumberofwaveletcoefficientsforeachboundedrectangularregionintheupperhalfplane.Still,eachcoefficientrequirestheevaluationofanintegral.Toavoidthisnumericalcomplexityoneneedsoneauxiliaryfunction,the''fatherwavelet''phiinL^2（R）.Further,onehastorestrict''a''tobeanintegernumber.Atypicalchoiceis''a=2''and''b=1''.ThemostfamouspairoffatherandmotherwaveletsistheDaubechies4tapwavelet.-->。 |
| マザー・ファザーそれぞれのウェーブレットから部分空間。 |
| V_m=operatorname{span}（phi_{m,n}:nin）,wherephi_{m,n}（t）=2^{-m/2}phi（2^{-m}t-n）。 |
| W_m=operatorname{span}（psi_{m,n}:nin）,wherepsi_{m,n}（t）=2^{-m/2}psi（2^{-m}t-n）.。 |
| が構成される．これらより、系列。 |
| {0}subsetdotssubsetV_1subsetV_0subsetV_{-1}subsetdotssubsetL^2（R）。 |
| はL^2（R）の多重解像度分析を形成することになり、また部分空間dots,W_1,W_0,W_{-1},dotsdotsは上の系列の直交する''差分''、つまりW_mはV_{m-1}中にあるV_mの直交補空間となる。 |
| サンプリング定理と同様に、samplingdistance2^mの空間V_mは''0''から2^{-m-1}の周波数帯域をほぼカバーすることになる。 |
| またW_mは直交補空間として帯域 |
| formsamultiresolutionanalysisofL^2（R）andthatthesubspacesdots,W_1,W_0,W_{-1},dotsdotsaretheorthogonal"differences"oftheabovesequence,thatis,。 |
| W_misttheorthogonalcomplementofV_minsidethesubspaceV_{m-1}.InanalogytothesamplingtheoremonemayconcludethatthespaceV_mwithsamplingdistance2^mmoreorlesscoversthefrequencybasebandfrom''0''to2^{-m-1}.Asorthogonalcomplement,W_mroughlycoverstheband |
| Fromthoseinclusionsandorthogonalityrelationsfollowstheexistenceofsequencesh={h_n}_{nin}and。 |
| g={g_n}_{nin}thatsatisfytheidentities。 |
| このような包含と直交の関係より，2つの恒等式。 |
| h_n=langlephi_{0,0},,phi_{1,n}angleandphi（t）=sqrt2sum_{nin}h_nphi（2t-n）。 |
| g_n=langlepsi_{0,0},,phi_{1,n}angleandpsi（t）=sqrt2sum_{nin}g_nphi（2t-n）.。 |
| を満たす系列h={h_n}_{nin}とg={g_n}_{nin}が存在することになる。 |
| Thesecondidentityofthefirstpairisarefinementequationforthefatherwaveletphi.。 |
| Bothpairsofidentitiesformthebasisforthealgorithmofthefastwavelettransform.。 |
| 2番目の恒等式はファザーウェーブレットphiの洗練条件と呼ばれる。 |
| これらの恒等関係は高速ウェーブレット変換アルゴリズムの土台となっている．。 |
マザーウェーブレット
| Forpracticalapplicationsoneprefersforefficiencyreasonscontinuouslydifferentiablefunctionswithcompactsupportasmother（prototype）wavelet（functions）.However,tosatisfyanalyticalrequirements（inthecontinuousWT）andingeneralfortheoreticalreasonsonechoosesthewaveletfunctionsfromasubspaceofthespaceL^1（R）capL^2（R）.Thisisthespaceofmeasurablefunctionsthatarebothabsolutelyandsquareintegrable:。 |
| int_{-infty}^{infty}|psi（t）|,dtandint_{-infty}^{infty}|psi（t）|^2,dt.。 |
| 実応用での効率性を考えると、マザー（プロトタイプ）ウェーブレット（関数）はコンパクトサポートの連続微分可能関数であることが望ましい。 |
| しかし、（連続WTにおける）解析的であることの要求と、理論的な理由から、一般的にウェーブレット関数は空間L^1（R）capL^2（R）の部分空間から選ばれる。 |
| これは絶対値積分可能かつ2乗積分可能な可測関数の空間である。 |
| int_{-infty}^{infty}|psi（t）|,dtandint_{-infty}^{infty}|psi（t）|^2,dt.。 |
| Forpsitobeawaveletforthecontinuouswavelettransform（seethereforexactstatement）,themotherwaveletmustsatisfyanadmissibilitycriterion（looselyspeaking,akindofhalf-differentiability）inordertogetastablyinvertibletransform.。 |
| psiが連続ウェーブレット変換（正確な議論はリンク先参照）のウェーブレットであるためには、マザーウェーブレットは安定な逆変換を持つための許容性の規範（簡単に言うとこれは半微分可能性のようなもの）を満たさなければならない。 |
| Forthediscretewavelettransform,oneneedsatleasttheconditionthatthewaveletseriesisarepresentationoftheidentityinthespaceL^2（R）.Mostconstructionsofdiscrete。 |
| WTmakeuseofthemultiresolutionanalysis,whichdefinesthewaveletbyascalingfunction.Thisscalingfunctionitselfissolutiontoafunctionalequation.。 |
| 離散ウェーブレット変換における最低限満たさなければならない条件として、ウェーブレット系列はLp空間L^2（R）中の単位元でなければならない。 |
| 離散WTのほとんどの構成は多重解像度分析を用いており、この場合ウェーブレットはスケール関数により決定される。 |
| 多くの場合においてpsiをvanishingmomentsを表すより大きい数字''M''の連続関数、つまりつまり全ての整数''m<M''について以下の式を満たす関数に限定することは有用である。 |
| マザーウェーブレットは、aの因数による拡大縮小（スケール）と、bの因数による平行移動（シフト）により、（Morletによるオリジナルの定式化のように）以下のように与えられる。 |
| Thesefunctionsareoftenincorrectlyreferredtoasthebasisfunctionsofthe（continuous）transform.Infact,asinthecontinuousFouriertransform,thereisnobasisinthecontinuouswavelettransform.Time-frequencyinterpretationusesasubtlydifferentformulation（afterDelprat）.。 |
フーリエ変換との比較
| ThewavelettransformisoftencomparedwiththeFouriertransform,inwhichsignalsarerepresentedasasumofsinusoids.ThemaindifferenceisthatwaveletsarelocalizedinbothtimeandfrequencywhereasthestandardFouriertransformisonlylocalizedinfrequency.TheShort-timeFouriertransform（STFT）isalsotimeandfrequencylocalizedbutthereareissueswiththefrequencytimeresolutionandwaveletsoftengiveabettersignalrepresentationusingMultiresolutionanalysis.。 |
| Thediscretewavelettransformisalsolesscomputationallycomplex,takingO（''N''）timeascomparedtoO（''N''log''N''）forthefastFouriertransform（''N''isthedatasize）.。 |
| 主な違いは、ウェーブレット変換は時間と周波数の両方の成分を局在化するが、標準的なフーリエ変換は周波数成分だけを局在化することである。 |
応用
| 分子動力学、第一原理計算、宇宙物理学、密度行列局在、地震地球物理学、光学、乱流そして量子力学を含む、物理学の多くの分野でこのパラダイムシフトが起こった。 |
| この変化が起こった他の分野は画像処理、血圧、心拍やECGの解析、DNA解析、タンパク質解析、気候学、一般的な信号処理、音声認識、コンピュータグラフィックスそしてマルチフラクタル解析である。 |
| コンピュータビジョンや画像処理において、尺度空間表現やガウス微分オペレータの概念は正規化された多重解像度表現の一つであると考えられている。 |
歴史
| Thedevelopmentofwaveletscanbelinkedtoseveralseparatetrainsofthought,startingwithHaar'sworkintheearly20th century.NotablecontributionstowavelettheorycanbeattributedtoGoupillaud,GrossmanandMorlet'sformulationofwhatisnowknownastheCWT（1982）,Stromberg'searlyworkondiscretewavelets（1983）,Daubechies'orthogonalwaveletswithcompactsupport（1988）,Mallat'smultiresolutionframework（1989）,Delprat'stime-frequencyinterpretationoftheCWT（1991）,Newland'sHarmonicwavelettransformandmanyotherssince.。 |
| ウェーブレット理論における大きな貢献には、Goupillaud、Grossman、Morletによる現在連続ウェーブレット変換として知られる定式化（1982）に始まり、Strombergによる離散ウェーブレット変換における初期研究（1983）、Daubechiesによるコンパクト台を持つ直交ウェーブレット（1988）、Mallatによる多重解像度解析に関する提案（1989）、Delpratによる連続ウェーブレット変換における時間-周波数変換（1991）、Newlandによるハーモニックウェーブレット変換など、枚挙にいとまがない。 |
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