リー群

ネットワーク タグ タグはありません タグを編集 キーワード 単連結 閉部分群 ルート系 ベクトル場 すべて見る つながりの強いひと 多様体 局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。 横田一 横田 一（よこた はじめ） 1946年東京都生まれ．1970年3月早稲田大学法学部卒業．同年4月，毎日新聞社入社．大阪社会部，岡山支局（75年ブルガリア留学），... 小林俊行 日本の数学者。東京大学教授。理学博士（1990年）。大阪府出身。 カルタン カルタン(Caltan)とは2ちゃんねる発祥の萌え擬人化キャラクターである。もともとはFLASH板に立っていた「カルピスを飲んだときに喉に出現する白いモノ」とい... ソフス・リー ノルウェーの数学者。 ブルバキ ブルバキ-数学者たちの秘密結社 シリーズ名： シュプリンガー数学クラブ第10巻 本体価格： 2,400円＋税 M.マシャル 著 高橋礼司 訳 四六 C... 大島利雄 大島利雄 出典: 東京大学 大学院理学系研究科 教員情報 Wiki 移動: ナビゲーション , 検索 大島 利雄 ( おおしま としお ) 職名 教授 所属 数理 数学... 杉浦光夫 日本の数学者、東京大学名誉教授。愛知県岡崎市出身。俳優・杉浦直樹の従兄弟。1953年東京大学理学部数学科卒。1961年理学博士。東京大学教養学部助教授、教... 演算子 ＵＰ応用数学選書5 演算子法 一つの超函数論 吉田 耕作 ISBN978-4-13--7, 発売日:1982年03月上旬, 判型:Ａ5, 184頁 内容紹介 演算子法は50年代のミクシンスキ... 原英徳 原 英徳先生 ご経歴 平成7年 近畿大学医学部附属病院眼科研修医 終了 平成11年 近畿大学大学院医学研究科 卒業 近畿大学医学部附属病院眼科助手 近畿大学医学... もっと見る 可換環 非可換環 谷崎俊之著 2006年7月岩波書店A5判148頁 1〜10日以内発送価格：2,835円（税込）☆☆☆ ISBN：9784 本書の目標は、現代数学の基本的手... アーベル 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''G''を台集合とする実リー群とは、''G''には実数体上有限次元で（多くの場合無限回微分可能という意味で）可微分な実多様体の構造が定められていて、''G''はまた群の構造を持ち、さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての''G''上の写像として可微分であるもののことである（群演算が可微分写像となっていることを「群演算が可微分多様体の構造と両立する（可換である、あるいはうまくいっている）」といい表す）。 このような構造が入っているという前提の下で、通常は「''G''はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。 また、実数（実多様体）を複素数（複素多様体）にとりかえて複素リー群の概念が定まる。 リー群の定義を圏論の言葉で述べれば、リー群とは可微分多様体の圏の群対象のことであるということができる。 複素数体C上の二次特殊線型群''SL''（2,C）などは複素リー群の例である。 また、直交群や斜交群は、成分の属する体の直積位相からの相対位相に関して多様体とみるとリー群である。 このような行列からなるリー群は総じて（代数的）行列群あるいは線型代数群と呼ばれる一類（正確には、ある代数閉体上の一般線型群の部分群であって、成分の代数方程式によって与えられるもの）に属す。 一般化として、台となる多様体が無限次元であることを許すことにより無限次元リー群が同様の方法で定義される。 また、類似物として係数の属する体を''p''-進数体にとりかえて''p''-進リー群が定義される。 あるいは係数体を有限体に取り替えれば、リー群の有限な類似物としてリー型の群が豊富に得られるが、これらは有限単純群の多くの部分を占めるものである。 また、可微分多様体を用いる代わりに解析多様体や位相多様体を台にすることもできるが、それによって新たなものが得られるというわけではない。 事実、アンドリュー・グリーソン、ディーン・モントゴメリ、レオ・ジッピンらは1950年代に次のことを証明している。 すなわち、''G''が位相多様体であって、連続な群演算をもつ群でもあるならば、''G''上の解析的構造が唯一つ存在して、''G''をリー群にすることができる（ヒルベルトの第５問題あるいはヒルベルト-スミス予想）。 例 いくつかの例と、それらに関連する数学や物理学の分野について触れる。 ユークリッド空間R''n''は、ベクトルの加法を群演算と見て可換リー群である。 可逆な''n''次正方行列全体''GL''''n''（R）は行列の積によって群をなす（一般線型群と呼ばれる）が、これを''n''2次元のユークリッド空間の部分多様体とみるとリー群である。 この一般線型群は、行列式の値が1となる行列全体のなす群（特殊線型群と呼ばれる）を部分群として含むが、これもやはりリー群の例となる。 ''n''次元ベクトル空間における回転と鏡映が生成する変換群''O''''n''（R）は直交群と呼ばれるリー群である。 スピノル群は特殊直交群の二重被覆であり、場の量子論におけるフェルミ粒子の研究に用いられる。 斜交群''Sp''2''n''（R）は、シンプレクティック形式を保つ行列全体のなすリー群である。 0次元球面''S''0,1次元球面''S''1および3次元球面''S''3は、これらをそれぞれ絶対値が1の実数全体、複素数全体、四元数全体と同一視することでリー群にすることができる。 他の次元の球面ではこのようなことはできないし、リー群にはならない。 リー群としての''S''1はしばしば円周群と呼ばれる。 いくつかの円周群同士の直積リー群はトーラス群と呼ばれる。 ''n''次の上三角行列の全体からなる群''B''は''n''（''n''+1）/2次元の可解リー群である。 しばしば標準ボレル部分群と呼ばれる。 ローレンツ群およびポワンカレ群は特殊相対性理論において時空の等長性を記述するリー群で、それぞれ6および10次元である。 ハイゼンベルグ群は3次元リー群で量子力学に登場する。 ''n''次ユニタリ群''U''（''n''）はユニタリ行列全体のなす''n''2次元のコンパクトリー群である。 行列式の値が1のユニタリ行列全体のなすリー群''SU''（''n''）を部分群として含む。 直積リー群''U''（1）×''SU''（2）×''SU''（3）は1+3+8=12次元のリー群である。 これは標準模型のゲージ群で、それぞれの次元は1が光子、3がベクトルボソン、8がグルーオンに対応している。 メタプレクティック群''Mp''は3次元のリー群である。 ''SL''2（R）の二重被覆群で、モジュラー形式の理論に用いられる。 これを有限行列表現することはできない。 ''G''2,''F''4,''E''6,''E''7,''E''8型の例外型リー群はそれぞれ14,52,78,133,248次元である。 次元190のリー群E7½もある。 リー群から新たなリー群を作り出す標準的な方法がいくつか挙げられる。 二つのリー群から直積群をつくると、これは直積位相に関してリー群になる（直積リー群）。 リー群の閉部分群をとると、これは相対位相でリー群をなす（リー部分群）。 リー群をその正規閉部分群で割った商はリー群である（商リー群）。 連結リー群の普遍被覆もまたリー群である（普遍被覆リー群）。 例として、加法に関するリー群Rの普遍被覆は円周群''S''1である。 リー群で無いものの例を挙げる：。 無限次元実ベクトル空間を加法群と見たもののような無限次元群。 これは有限次元の多様体ではないのでリー群ではない（無限次元リー群ではある）。 ある種の完全不連結群、たとえば体の無限次拡大のガロア群や、''p''-進数全体のなす加法群などがそうである。 これらがリー群でないのは実多様体を台としないからである（後者は''p''-進リー群に属する）。 連結リー群のリー群準同型像は必ずしもリー群にはならない。 典型的な例として、可換リー群Rを直積リー群''S''1×''S''1へ、写像''x''→（''x'',√2''x''）によって写すことを考える。 この像は''S''1×''S''1の稠密な部分群で、したがってこれは多様体にならないし、特にリー群にはならない。 これはまた、リー環の部分リー環がリー群の部分リー群に対応しないことの例ともなっている。 有理数体の加法群に実数体における位相の相対位相を入れたものも、多様体にならないのでやはりリー群ではない。 リー群の型 リー群の分類法の一つは、その代数的な性質によるものである。 例えば、単純リー群、半単純リー群、可解リー群、冪零リー群、可換リー群は、その群としての単純性、半単純性、可解性、冪零性、可換性に従った分類である。 また、リー群の多様体としての性質による分類もある。 連結性やコンパクト性に着目して、連結リー群、単連結リー群、あるいはコンパクトリー群などを考えることができる。 リー群の単位元を含む連結成分（単位成分）は正規閉部分群で、それによる商は離散群である。 リー群の普遍被覆群は単連結リー群である。 逆に、連結リー群はかならず、単連結リー群の（その中心に含まれる正規離散部分群による）商として得られる。 コンパクトリー群の分類は終わっており、それは単純コンパクトリー群とトーラス群の直積リー群の有限中心拡大であるか、さもなくば連結なディンキン図形に対応する単純コンパクトリー群であることが知られている。 単連結可解リー群は、ある階数の可逆上三角行列全体のなす群の閉部分群に同型であり、そのような群の有限次元既約表現は1次元表現（既約指標）である。 可解リー群の分類は、ごくちいさい次元での場合を除けば、非常に厄介なものである。 単連結冪零リー群は、ある階数の対角成分がすべて1の可逆上三角行列のなす群の閉部分群に同型である。 冪零リー群の分類もやはりごく小さい次元での場合を除いて非常に困難である。 単純リー群という概念は、単に抽象群として単純であることを以ってその定義とする場合もあれば、単純リー環に対応する連結リー群として定義する場合もある。 ''SL''2（R）は第二の定義であれば単純であるが、第一の定義では単純でない。 半単純リー群は、その付随するリー環が半単純（単純リー環の直積）となる連結群のことである。 連結可換リー群はすべて、ユークリッド空間を加法に関する群と見たものとトーラス群との直積に同型である。 構造 リー群は標準的に、離散リー群、単純リー群、可換リー群に以下のように分解される：ここでリー群''G''に対して。 ''G''0を''G''の単位元を含む連結成分、。 1⊂''G''nil⊂''G''sol⊂''G''0⊂''G''。 ''G''sol/''G''nil可換リー群（これはユークリッド空間とトーラスの積として書ける）、。 これにより、リー群に対する問題の一部（たとえばリー群のユニタリ表現を求める問題など）は連結単純リー群の同種の問題に帰着して考えることができる。 付随するリー環 リー群に対して、その単位元における接空間（を台となるベクトル空間としてそれに積を定義したもの）としてリー環を対応付けることができる。 このリー環は、もとのリー群の局所的な構造を完全に反映しており、リー群に付随するリー環と呼ばれる。 このリー環の元は、略式的には（ユークリッド空間内にある曲面の古典的な接平面に対するイメージをそのまま反映して）リー群の単位元に無限に近いところにある元であると見ることができるし、リー環の括弧積はそのような無限小の交換子が定めるものと考えることができる。 可換リー群R''n''のリー環はちょうどR''n''に括弧積を、任意の''A'',''B''に対して。 ''G''が''GL''''n''（R）の閉部分群なら、''G''のリー環は略式的に''M''''n''（R）に属する行列''m''であって1+ε''m''が''G''に属すようなもの全体からなるものと見ることができる。 #可微分多様体''M''上のベクトル場は、''M''上の滑らかな関数のなす環の微分''X''と考えることができる。 また、二つの微分''X'',''Y''に対して、そのリー括弧積 #''G''が可微分多様体''M''に滑らかに作用するリー群とすると、''G''の作用を関数環へ移行し、さらに微分に移行することで''G''はベクトル場に対して作用させることができる。 つまり、''G''は''G''=''M''に左からの積で作用していると見なすと、''G''上の左不変ベクトル場の全体はベクトル場のリー括弧積のもとでリー環となる。 これにより、単位元''e''における接空間''Te''と左不変ベクトル場全体の作るベクトル空間とを同一視して、接空間をリー環にすることができる。 これをリー群''G''のリー環（''G''に付随するリー環、''G''に対応するリー環）と呼んで、リー群を表すのに使っている文字の対応する小文字（慣習的にドイツ文字を用いることが多い）を充てて表す。 左不変ベクトル場を用いる代わりに右不変ベクトル場を用いても、単位元における接空間''T''''e''にリー環の構造を入れることができるが、この場合も左不変ベクトル場を用いたと同じリー環が定まる。 これは、リー群''G''上で逆元をとる写像を考えると、それを移行して右不変ベクトル場と左不変ベクトル場が対応付けられ、特に接空間''T''''e''上では−1を乗じる操作として作用することから従う。 接空間''T''''e''上のリー環構造は次のように記述することもできる：直積リー群''G''×''G''上の交換子作用素。 準同型と同型 写像''f'':''G''→''H''がリー群の準同型であるとは、''f''は抽象群としての群準同型であって、かつ''f''が解析的であるときにいう。 全ての実リー群のなす類、あるいは全ての複素リー群のなす類に、それぞれの意味でのリー群準同型を射と見なしてリー群の圏ができる。 指数写像 リー環''M''''n''（R）からリー群''GL''''n''（R）への指数写像は通常の冪級数として、行列''A''に対して。 もちろん、正方行列全体''M''''n''（R）が通常の交換子をリー括弧積として成すリー環が、リー群''GL''''n''（R）のリー環であることから指数写像は行列の指数関数の一般化でもある。 指数写像がリー群''G''の単位元''e''の適当な近傍''N''の上への写像であるので、付随するリー環の元は''G''上の無限小生成作用素（infinitesimalgenerator）と呼ばれる。 無限次元リー群 多様体から有限次元群への滑らかな写像全体の成す群はゲージ群と呼ばれ、場の量子論やドナルドソン理論で用いられている。 リー群 - Wikipedia より要約 投票数 0 ふりがな 入力する 性別 入力する 出身地 入力する 生年月日 入力する 血液型 入力する 職業 入力する 所属 入力する Twitter 入力する フォロワー 追加・投票 不適切なページとして報告する 閉じる 不適切なページを報告する場合は、 ログイン または ユーザ登録してください ※名誉毀損・誹謗中傷にあたる情報の削除等はこちらからお願いいたします リー群さんについてのひとこと紹介